В прямоугольной трапеции АВСD высота АВ равна сумме оснований АD и BC. Биссектриса угла...

Question

В прямоугольной трапеции АВСD высота АВ равна сумме оснований АD и BC. Биссектриса угла АВС пересекает сторону СD в точке К. В каком отношении эта точка делит CD?

Answer 1

Если продолжить биссектрису угла АВС
до пересечения с нижним основанием трапеции,
получим прямоугольный равнобедренный треугольник...
если рассмотреть подобные по двум углам треугольники ВСК и KDT,
найдем в них равные стороны, следовательно,
эти треугольники не только подобны, но и равны...
CK=KD
Ответ: в отношении 1:1

Comments

спасибо огромное

Answer 2

Пусть BC≥AD. На стороне AB возьмем точку N так, что AN=AD и BN=BC (это возможно т.к. AB=AD+BC) и обозначим точку пересечения BK и NC через M.
1) Треугольники NAD и NBC равнобедренные и и прямоугольные, поэтому ∠DNC=180°-45°-45°=90°.
2) BM - биссектриса, а значит медиана и высота треугольника NBC.
Отсюда MK - средняя линия треугольника NDC, т.е. DK/CK=1.

---

Comments

спасибо огромное

---

но почему ВМ биссектриса

---

все, я понял почему биссектриса

---

но почему из того что ВМ медиана следует что Мк- средняя линия

---

1) Решение правильное, но оно не соответствует рисунку. Чтобы все соответствовало, на рисунке надо поменять местами точки А и В, а также точки C и D. Потому что выбиралось BC>AD.
2) BM биссектриса, потому что M лежит на BK, а BK - биссектриса по условию.
3) BM - медиана и высота. Т.к. угол DNC=90, то BM||DN, или, что тоже самое MK||DN, и вдобавок М - середина NC, значит MK - средняя линияя.

---

а зачем прикреплять рисунок, не соответствующий доказательству...

---

опечатка вышла.