Найти наименьшее значение выражения:

$(1+cos^22 \alpha )*(1+tg^2 \alpha )+4sin^2 \alpha =(1+cos^22 \alpha )* \frac{1}{cos^2 \alpha } +4sin^2 \alpha =$ $\frac{1+cos^22 \alpha +4sin^2 \alpha cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } = \frac{1+cos^22 \alpha +sin^22 \alpha }{cos^2 \alpha } = \frac{2}{cos^2 \alpha } =2*(1+tg^2 \alpha )=$ $2+2tg^2 \alpha$

так как $tg^2 \alpha$ есть число неотрицательное, т. е. $tg^2 \alpha \geq 0$ , то минимальное значение принимается, когда выражение равно нулю, тогда
$2+2tg^2 \alpha =2+2*0=2$

Ответ: $2$