Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой...

Question

Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Answer 1

Четырехзначное число можно представить как 1000a + 100b + 10c + d,
Оно делится на 11, значит a - b + c - d = 11k
Четырехзначное число в 11 раз больше трехзначного 100b + 10c + d.
1000a + 100b + 10c + d = 11(100b + 10c + d)
1000a + 100b + 10c + d = 1100b + 110c + 11d
1000a + 100b + 10c + d = 1000b + 100(b+c) + 10(c+d) + d
1000(a-b) + 100(b-b-c) + 10(c-c-d) = 0
1000(a-b) - 100c - 10d = 0
1000(a-b-1) + 100(9-c) + 10(10-d) = 0
1000(a-b) - 1000 + 900 - 100c + 100 - 10d = 0
1000(a-b) = 100c + 10d
Получается: 100c + 10d должно делиться на 1000.
a - b = 0
100c + 10d = 0
a = b; c = d = 0
Это числа 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900
Их сумма равна 49500

Answer 2

Пусть искомое число ABCD, тогда при делении на BCD получается 11.
ABCD=11*BCD

ABCD=1000A+100B+10C+D
BCD=100B+10C+D

1000A+100B+10C+D=11*(100B+10C+D)
1000A=10*(100B+10C+D)
100A=100B+10C+D
A=B + C/10 + D/100

A, B, C, D - это цифры от 0 до 9.
С/10 даст целое число, если С=0
D/100 даст целое число, если D=0

Остается, что A=B.
Вариантов таких чисел 9: 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900.

Найдем их сумму:1100+2200+3300+4400+5500+6600+7700+8800+9900=100*(11+22+...+99) =100*S₉=100*495=49500

S₉=(2*11+8*11)*11/2=110*9/2=495

Ответ: сумма искомых чисел равна 49500

Comments

1000x +y =11y ⇒y =100x ; x∈{1;2;3;4;5;6;7;8;9}.1100+2200+3300+4400+5500+6600+7700+8800+9900=1100(1+2+3+...+9) =1100*45 =49500. * * * 1+2+3+...+9=((1+9)/2)*9 =5*9=45.* * *