Задание 4. Доказать, что при каждом n принадлежащем N число 7^2n-1 делится ** 48 Задание...

0 голосов
43 просмотров

Задание 4. Доказать, что при каждом n принадлежащем N число 7^2n-1 делится на 48

Задание 5. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1+2+3+⋯+n=1/2 n(n+1)

Задание 6. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1∙4+2∙7+3∙10+n(3n+1)=n〖(n+1)〗^2


Алгебра (20 баллов) | 43 просмотров
0

перезагрузи страницу если не видно

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

 7^{2n}-1 \\
положим что оно делиться на 48 ,тогда методом математической индукций , оно должно делится и на         n+1 
   7^{2(n+1)}-1 = 7^{2n}*49-49+48 = (7^{2n}-1)*49+48 откуда и следует утверждение , так как 7^{2n}-1 делится на 48 , а   48 делится на само себя , то и все выражение делится      на 48 
  
             
  Можно представить как арифметическую прогрессию и по формуле  
  1+2+3+...+n\\
 S_{ariph} = \frac{2*1+1*(n-1)}{2}*n = \frac{n+1}{2}*n 

    1*4+2*7+3*10 + n(3n+1) = n*(n+1)^2 \\
 
 пусть оно верно для первого члена , тогда для последующего , получим    при   n+1    
    1*4+....+n(3n+1)+(n+1)(3n+4 ) = (n+1)(n+2)^2 \\
 n(n+1)^2+(n+1)(3n+4) = (n+1)((n+1) n + 3n+4) \\
 (n+1)( n^2+4n+4) = (n+1)(n+2)^2
 
  
   
 Верно

(224k баллов)