В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В в отношении...

Question

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В в отношении 5 6 4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 6.

Answer 1

Введем обозначения: биссектриса AE, высота BH, точка M пересечения биссектрисы и высоты, x - угол EAC (BAE), R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. AB/cosx=BM/sinx,
ABtgx=BM,
tgx=BM/AB.
Из треугольника ABH sin2x=BH/AB=9*BM/(5*AB)⇒9/5*tgx=sin2x,
sin2x*5/9=tgx,
10/9*sinx*cosx=sinx/cosx,
10cosx/9=1/cosx,
cosx=+-3√10/10, 0По теореме синусов (рассматриваем треугольник ABC) BC/sin2x=2R,
R=BC/2sin2x=6/(2*3/5)=5
Ответ: 5.