Найти период колебаний колеса массой m и радиусом R, находящегося в ямке

Question

Дан 1 ответ

Dredo_zn · Answer 1 · 2018-04-06T20:58:21+0000

Нарисуйте картинку. Угол между центром кольца и вертикалью назовем $\Phi$ . Угол, на который повернулось колесо (само) относительно состояния в положении равновесия, обозначим $\varphi$ . Радиус кольца - $r$ , радиус ямы - $R$ .
В задаче три вида энергии: кинетическая поступательного движения, кинетическая вращательного и потенциальная. Посчитаем каждую из них глядя на картинку.
Кин. эн. поступ. движения:
$T_\mathrm{tr.}=\frac 12 mv_\mathrm{m.c.}=\frac 12 m (R-r)^2\dot\Phi^2;$
Вращательного:
$T_\mathrm{spin}=\frac 12 mr^2\dot\varphi^2=\frac 12 mR^2\dot\Phi^2$
(здесь использована кинематическая связь между углами $\varphi r=\Phi R$ )
И потенциальная:
$\Pi=mgh_\mathrm{m.c.}=mg(R-r)(1-\cos \Phi)=\frac 12mg(R-r) \Phi^2$
(последнее равенство, на самом деле, приближенное. Здесь использована малость угла $\Phi$ , а именно, первые два члена разложения косинуса в ряд Тейлора: $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^4)$ ).
Полная энергия в процессе движения, конечно, сохраняется. Так и запишем.
$\frac 12 m(R-r)^2\dot\Phi^2+\frac 12 mR^2\dot\Phi^2+\frac 12mg(R-r)\Phi^2=\mathrm{const}.$
Вообще, по школьному алгоритму нужно сейчас это уравнение продифференцировать по времени, но можно этого и не делать, а вместо этого сказать такие слова: уравнение вида $\dot y^2+\omega^2 y^2=\mathrm{const}$ является тем, что в теоретической механике называется первым интегралом уравнения гармонического осциллятора $\ddot y+\omega^2 y=0$ . Омеги, стоящие перед вторыми членами в этих уравнениях в силу некоторых, скорее даже, математических причин, совпадают.
Ну и все тогда, пишем квадрат круговой частоты, внимательно глядя на закон сохранения энергии.
$\omega^2=\frac{mg(R-r)}{m(R-r)^2+mR^2}\longrightarrow\boxed{T=2\pi\left(\frac{(R-r)^2+R^2}{g(R-r)}\right)^{1/2}}$
Обратите внимание, что ответ не зависит от массы кольца!

P.S. можно похулиганить немножко, предположив, что $r^2=o(R)$ , то есть, что радиус ямы намного больше радиуса кольца. Тогда выражение для периода вырождается в соответствии с предположением (по рабоче-крестьянски, мы тут пренебрегаем квадратом радиуса кольца), в более красивый ответ: $T=\pi\sqrt{\frac{2g}{R}}.$
Обратите внимание, что в этом приближении ответ не зависит даже от радиуса кольца, но зависит, конечно, от радиуса ямы (который в условии очень напрасно не дан). Последнее легко видеть, положив радиус ямы равным бесконечности. Тогда у нас задача превращается в катание колеса по плоскости. В этом случае никаких колебаний нет, а формально, их период равен бесконечности. Теперь ясно, что ответ обязательно должен зависеть от радиуса ямы.