Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как...

Объем призмы - это произведение площади её основания на высоту

$V=S \cdot l$

Площадь боковой поверхности призмы - это произведение периметра основания на длину бокового ребра.

Так как призма прямая, то высота равна длине боковой грани.

А значит площадь основания:

$S=\frac{V}{l}$

$S=\frac{48}{4}=12 (sm^{2})$

В основании призмы прямоугольный треугольник. Его площадь можно найти по формуле

$S=\frac{1}{2}\ a \cdot b$ (a,b - катеты).

Так как катеты соотносятся как 2 и 3, то введём коэффициент пропорциональности k:

a=2k;

b=3k;

$S= \frac{1}{2}\ 2k\cdot 3k\\\\ \frac{1}{2}\ 2k\cdot 3k=12\\\\ 6k^{2}=24\\\\ k^{2}=4 \\\\ k=2 (sm).$

Значит а=2*2=4 (см), а b= 3*2=6 (cм).

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле :

$S=P \cdot l$

Где P - это периметр основания.

Для нахождения периметра нам не хватает гипотенузы. Найдём её по теореме Пифагора:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\\\\ c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\\\ c=\sqrt{4^{2}+6^{2}}\\\\ c=\sqrt{16+36}}\\\\ c=\sqrt{52}}\\\\ c=2\sqrt{13} (sm).$

Площадь боковой поверхности:

S=10*4+2 $\sqrt{13}$ *4=40+8 $\sqrt{13}$ см2.

Ответ: $40+8\sqrt{13} (sm^{2})$