А) 3^(x²-x) = 9
3^(x²-x) = 3²
x² - x = 2
x² - x -2 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;.
x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
б) 2^(x-1) + 2^(x+2) = 36
0,5*2^x + 4^x = 36
4,5*2^x = 36
2^x = 36 / 4.5 = 8 = 2³
x = 3
в) 25^x + 10*5^(x-1) - 3 = 0
Введём замену: 5^x = y.
Получаем квадратное уравнение.
у² + 2у - 3 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;
y₂=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
Второй корень отбрасываем - 5 ни в какой степени не может быть отрицательным числом.
Принимаем 5^x = 1
5^x = 5⁰
х = 0
г) 2^x*5^(x+2) = 2500
2^x*5^x+5² = 5²*10² = 5²*2²*5²
После сокращения на 5² получаем:
(2*5)^x = (2*5)²
Отсюда х = 2.