Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…
ПонимаешьК комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.Правило суммыЕсли некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.Правило произведенияЕсли элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n.Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.Практикум по решению задач по комбинаторике.ЗАДАЧИ и решения1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?6 + 5 + 4 = 15Ответ: 15 вариантов.2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?3 + 2 + 4 = 9Ответ: 9 вариантов.3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?5 • 3 = 15Ответ: 15 путей.4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.2 • 4 = 8Ответ: 8 способами.5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?6 • 8 = 48Ответ: 48 пар.6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?4 • 8 = 28Ответ: 28 вариантов.7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа