Римское "куартариус" (от того же "куаттуор") означало: четвертая часть
какой-либо меры. Затем так, "четвертина", стали называть особую повинность,
вид налога - военный постой, предоставление жилья солдатам. (Помните, в
"Бородине" Лермонтова: "Что ж мы, на зимние квартиры?" ворчат старики солдаты.)
Это - солдатское жилье само по себе, а затем уже и любое наемное помещение
для жительства в городах. К нам слово попало через немецкое "квартир".