Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна...

Question

50 просмотров

Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Математика kazimierz2015_zn (6.2k баллов) 07 Апр, 18 | 50 просмотров

Дан 1 ответ

Матов_zn · Answer 1 · 2018-04-07T00:35:35+0000

Очень кондовое решение
Пусть $AB=a \\ BC=b \\ AC=c \\ c=30*sinB\\ a=30*sin(A+B) \\ b=30*sinA \\$
Последнее через теореме синусов
Тогда , из условию следует что
$sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA$
Это следствие из формулы $S=pr\\ S=\frac{abc}{4R}$
Теперь , положим что $\angle A= \angle B \\$
Из выше описанной формулы следует что    $A=B=2arctg( \sqrt{\frac{5-\sqrt{12}}{13}} )\\$
$b=c=5\sqrt{24-6\sqrt{3}} \\ a=10\sqrt{5+2\sqrt{3}}$
Впишем наш контр пример , в координатную систему $OXY$
$A(0;0) \\ B(10\sqrt{5+2\sqrt{3}};0)$
Тогда центры меньших треугольников будут равны
$O_{A} \ (r \sqrt{5+\sqrt{12}} ; r) \\ O _{B} \ ((\sqr{5+\sqrt{12 })*(10-r) ; r)$
$O_{N} \ (5 \sqrt{5+\sqrt{12}} ; y) \\ O_{C} \ (5\sqrt{5+\sqrt{12}} ; y+2r)$
Найдем координату $y$
Его можно найти
Из уравнения
$(x-r\sqrt{5+\sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \\ ( (x - \sqrt{5+\sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2$
Найдя его , затем учитывая что
$d( O_{A}O_{N}) = 4r^2$
Найдем что $r=3$
Но задача , видимо решается через так называемую ГОМОТЕТИЮ