Помогите решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее...

Veamos...

$\dfrac{dx}{\cos^2x\cos y}+\cot x\sin y\; dy=0\\ \\ \dfrac{dx}{\cos^2x\cos y}=-\cot x\sin y\; dy\\ \\ \dfrac{dx}{\cos^2x\cot x}=-\sin y\cos y\; dy\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^2x\cot x}=-\int \sin y\cos y\; dy\\ \\ \int \dfrac{\sin x\;dx}{\cos^3x}=\int \cos y\; d(\cos y)\\ \\ -\int \dfrac{d(\cos x)}{\cos^3x}=\dfrac{1}{2}\cos^2 y\\ \\ \dfrac{1}{2\cos ^2x}+C=\dfrac{1}{2}\cos^2 y$

$\boxed{\cos^2 y=\sec^2x+K}\\ \\ \cos^2 (\pi /3)=\sec ^2(\pi)+K\\ \\ \dfrac{1}{4}=1+K\to K=-\dfrac{3}{4}\\ \\ \\ \boxed{\cos^2 y=\sec^2x-\dfrac{3}{4}}\\ \\$