(n^5-n) делится ** 30

Question

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из них обязательно кратно 3, и одно из них обязательно кратно 2, то есть их произведение обязательно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 или 5k+3. В остальных случаях один из сомножителей n-1,n или n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30. Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3 1)n=5k+2 2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-> все выражение кратно 30

оставил комментарий nicki45_zn (160 баллов) 07 Апр, 18

Дан 1 ответ

nafanya2014_zn · Answer 1 · 2018-04-07T01:37:48+0000

$n^5-n=n\cdot(n^4-1)=n\cdot(n^2-1)\cdot(n^2+1)= \\ \\ =n\cdot(n-1)\cdot(n+1)\cdot (n^2+1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\cdot (n^2+1)$
(n-1)·n·(n-1)- три последовательных натуральных числа, среди них одно обязательно кратно 3, одно кратно 2, значит все произведение кратно 6
осталось доказать кратность 5

Среди любых пяти последовательных натуральных чисел, одно кратно 5, это число 5k.
Второе дает при делении на 5 остаток 1, это число 5k+1
Третье при делении на 5 дает остаток 2, это число 5k+2
Четвертое при делении на 5 дает остаток 3, это число 5k+3
Пятое при делении на 5 дает остаток 4, это число 5k+4

1)если n=5k, то произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 5
2)если n=5k+1, то (n-1)=5k и произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 5
3)если n=5k+2, то (n²+1)=(5k+2)²+1=25k²+20k+4+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5
4)если n=5k+3, то (n²+1)=(5k+3)²+1=25k²+30k+9+1=25k²+30k+10=5(5k²+6k+2) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5
5) если n=5k+4, то n+1=5k+4+1=5k+5=5·(k+1) - кратно 5 и произведение
(n-1)n(n+1) кратно 5.

Ответ Все случаи рассмотрены. Доказано