Чичиков - подлежащее
послал - сказуемое
Сказуемое связано с подлежащим Чичиков ЧТО СДЕЛАЛ? - послал
а открывать будет ( или нет! ) не он! Это слово не связано с подлежащим! Оно относится к сказуемому : послал ЗАЧЕМ? С КАКОЙ ЦЕЛЬЮ? - это вопросы в обстоятельству ЦЕЛИ,которое выражено инфинитивом.
Инфинитив может быть ЛЮБЫМ членом предложения, поэтому некоторые учёные считают его НЕ НАЧ ФОРМОЙ ГЛАГОЛА, а самостоятельной частью речи.