18. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и ВС соответственно. а) Докажите, что угол FAH равен углу PAQ. б) Найдите АН, если AF = a, AP = b, AQ = c.
А) Поскольку четырехугольники AHEF и AQCP имеют (каждый) по 2 прямых угла, а четырехугольник BCDE - вписанный, то ∠FAH = 180° - ∠FEH = ∠BED = 180° - ∠BCD = ∠PAQ; б) ∠QCA = ∠HEA; это вписанные углы, опирающиеся на дугу AB; поэтому прямоугольные треугольники QCA и AHE подобны. ∠AEF = ∠ACP; так как оба они в сумме с углом AED дают 180°. поэтому подобны прямоугольные треугольники AFE и ACP. Отсюда легко составить пропорции c/AC = x/AE; (x = AH); b/AC = a/AE; если одно разделить на другое, получится c/b = x/a; x = ac/b;