Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение радиусов вписанной и описанной...

Question

Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружности

Answer 1

Высота треугольника к стороне 14 равно 12 и делит сторону на отрезки 5 и 9. По сути, эта высота делит такой треугольник на два Пифагоровых - со сторонами 5, 12, 13 и 9, 12, 15. Если взять два таких треугольника и "приставить" друг к другу катетами 12, как раз и получится треугольник 13, 14, 15.
Отсюда следует, что высота к стороне 14 равна 12, и площадь равна 12*14/2 = 84; полупериметр равен 21, поэтому радиус вписанной окружности r = 4.
Радиус описанной окружности R = 13*14*15/(4*84) = 65/8;
r/R = 32/65;

Comments

Ну, если голова не так гибко работает, можно сосчитать площадь по формуле Герона. p = 21; p - 13 = 8; p -14 = 7; p - 15 = 6; S^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2 = 84^2; Это необычайно правильный подход. :) Я в таких случаях всегда прошу вывести формулу Герона :)

---

Есть и способ, который я мог бы рекомендовать. Если обозначить высоту h и один из отрезков стороны 14 как x, то x^2 + h^2 = 13^2; (14 - x)^2 + h^2 = 15^2; откуда элементарно находится x = 5; это даже не квадратное уравнение. 14^2 - 28x + x^2 + h^2 = 15^2; 28*x = 15^2 - 14^2 - 13^2; на самом деле это способ, совершенно равноценный приведенному в ответе.