dy=xy^2dx при x0=2 y0=1

$dy=xy^2dx$

Разделим на $y^2$

Будем считать что y не равен 0

Получим:

$\frac{dy}{y^2}=xdx$

Берем интеграл от левой и правой части:

$\int{\frac{dy}{y^2}}\,=\int{xdx} \\ -\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2}-C \\ \frac{1}{y}=C-\frac{x^2}{2} \\ y=\frac{1}{C-\frac{x^2}{2}} \\ y=\frac{2}{2C-x^2}$

Теперь найдем С из начальных условий $x0=2, y0=1$

Подставляем:

$2=\frac{2}{2C-1^2} \\ 4C-2=2 \\ 2C-1=1 \\2C=2 \\C=1$

Теперь пишем решение удовлетворяющее нашим начальным условиям:

$y=\frac{2}{2-x^2}$

Это все мы делали при y не равном 0.

Теперь надо рассмотреть y=0

dy=0, при y= $xy^2dx|_{y=0}=0$

Получаем 0=0 значит у=0 тоже решение.

Ответ:

$\left \{ {{y=\frac{2}{2-x^2}} \atop {y=0}} \right.$