Длина медианы определяется на сторону b по формуле:
m = (1/2)√(2a²+2c²-b²). (1)
Обозначим половины стороны b за х.
Так как треугольник ДВС прямоугольный, то сторона а² = х² - m².
Заменим в уравнении (1) а² = х² - m², а b² = 4х².
Избавимся от корня в уравнении (1):
4m² = 2x²-2m²+2c²-4x²
6m² = 2c² - 2x²
2x² = 2c² - 6m²
x² = c² - 3m².
По теореме косинусов в треугольнике АВД:
cos ABD = (c²+m²-x²)/2cm = (c²+m²-c²+3m²)/2cm = 4m²/2cm =2m/c.
По условию m/c = √3/4, тогда cos ABD = 2√3/4 = √3/2.
Отсюда ответ: