В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС = 3, АС = 5) проведены высоты АА1 и СС1....

Находим косинус угла В:
$cos B= \frac{a^2+c^2-b^2}{2*a*b} = \frac{9+9-25}{2*3*3} =- \frac{7}{18} .$
Косинус угла АВА1 = - cos B = 7/18.
Отсюда находим боковые стороны заданного треугольника А1ВС1:
ВА1 = ВС1 = 3*cos(ABA1) = 3*7 / 18 = 7/6 = 1.166667.
Так как исходный и полученный треугольники подобны, то неизвестную сторону А1С1 находим по свойству подобных треугольников.
Коэффициент подобия к = (7/6) / 3 = 7/18.
Тогда А1С1 = 5 * (7/18) = 35/18 = 1.944444.

В задании не сказано, где находится точка Н.