Найдите множество решений системы

Question 1

Найдите множество решений системы
$\left \{ {{x^2+xy+y^2=7} \atop {x+xy+y=5}} \right.$

Question 2

$\begin{cases} x^2+xy+y^2=7 \\ x+xy+y=5 \right \end{cases}$
В первом уравнении выделим полный квадрат:
$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-xy=7 \\ x+xy+y=5 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} (x+y)^2-xy=7 \\ x+y+xy=5 \right \end{cases}$
Для удобства переобозначим: x+y=a; xy=b
$\begin{cases} a^2-b=7 \\ a+b=5 \right \end{cases}$
Складываем уравнения:
$a^2+a=12 \\\ a^2+a-12=0 \\\ D=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49 \\\ a_1= \frac{-1-7}{2} =-4 \\\ a_2= \frac{-1+7}{2} =3 \\\ b=5-a \\\ b_1=5-a_1=5-(-4)=9 \\\ b_2=5-3=2$
Возвращаемся к исходным переменным:
$\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=-4 \\ xy=9 \right \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \right \end{cases} \end{matrix}\right.$
Решаем первую систему:
$\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=9 \right \end{cases} \\\ x=-y-4 \\\ (-y-4)y=9 \\\ -y^2-4y=9 \\\ y^2+4y+9=0 \\\ y^2+4y+4+5=0 \\\ (y+2)^2=-5$
Система не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным
Решаем вторую систему:
$\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \right \end{cases} \\\ x=3-y \\\ (3-y)y=2 \\\ 3y-y^2=2 \\\ y^2-3y+2=0 \\\ (y-1)(y-2)=0 \\\ y_1=1\Rightarrow x_1=3-1=2 \\\ y_2=2\Rightarrow x_2=3-2=1$
Ответ: (1; 2); (2; 1)

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-07T07:59:23+0000

$\begin{cases} x^2+xy+y^2=7 \\ x+xy+y=5 \right \end{cases}$
В первом уравнении выделим полный квадрат:
$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-xy=7 \\ x+xy+y=5 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} (x+y)^2-xy=7 \\ x+y+xy=5 \right \end{cases}$
Для удобства переобозначим: x+y=a; xy=b
$\begin{cases} a^2-b=7 \\ a+b=5 \right \end{cases}$
Складываем уравнения:
$a^2+a=12 \\\ a^2+a-12=0 \\\ D=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49 \\\ a_1= \frac{-1-7}{2} =-4 \\\ a_2= \frac{-1+7}{2} =3 \\\ b=5-a \\\ b_1=5-a_1=5-(-4)=9 \\\ b_2=5-3=2$
Возвращаемся к исходным переменным:
$\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=-4 \\ xy=9 \right \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \right \end{cases} \end{matrix}\right.$
Решаем первую систему:
$\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=9 \right \end{cases} \\\ x=-y-4 \\\ (-y-4)y=9 \\\ -y^2-4y=9 \\\ y^2+4y+9=0 \\\ y^2+4y+4+5=0 \\\ (y+2)^2=-5$
Система не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным
Решаем вторую систему:
$\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \right \end{cases} \\\ x=3-y \\\ (3-y)y=2 \\\ 3y-y^2=2 \\\ y^2-3y+2=0 \\\ (y-1)(y-2)=0 \\\ y_1=1\Rightarrow x_1=3-1=2 \\\ y_2=2\Rightarrow x_2=3-2=1$
Ответ: (1; 2); (2; 1)