Даю 100 баллов Знатоки ,помогайте 1)Доказать,что площадь треугольника АВС,вписанного в...

1. По теореме синусов, $\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB} =2R$ .
Выразим отсюда $sinA$ : $sinA= \frac{BC}{2R}$ .

Теперь воспользуемся одной из формул площади треугольника: $S= \frac{1}{2} *AB*AC*sinA$ . Подставив сюда дробь вместо синуса, имеем $S= \frac{1}{2} *AB*AC* \frac{BC}{2R} = \frac{AB*BC*AC}{4R}$ , что и требовалось.

2. Обозначим за $\alpha$ угол $AOB$ .
Воспользуемся формулой площади треугольника из предыдущей задачи:
$S(AOB)= \frac{1}{2} OA*OB*sin \alpha , S(BOC)= \frac{1}{2} OB*OC*sin (\pi - \alpha) \\ S(COD)= \frac{1}{2} OC*OD*sin \alpha, S(AOD)= \frac{1}{2} OA*OD*sin (\pi - \alpha)$

Заметим, что синусы вертикальных углов равны, поэтому
$sin \alpha =sin( \pi - \alpha )$ .

Подставляем значения площадей в левую и правую часть:
$S(AOB)*S(COD)= \frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} \alpha$
$S(AOD)*S(BOC)= \frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} \alpha$

Произведения площадей равны, что и требовалось.