Решение:
Решим прямую задачу линейного
программирования симплексным методом. Поскольку в правой части присутствуют
отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим максимальное значение целевой функции
F(X) = 2x2 при следующих
условиях:
- x1 + x2≤2
6x1 + 7x2≤42
x1 - 2x2≤0
x1≥2
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную
переменную x3. Во 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную
переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную
переменную x5. В 4-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную
переменную x6 со знаком
минус. В 5-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус.
-1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 2
6x1 + 7x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 42
1x1-2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 2
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 = 0
Введем искусственные переменные x:
в 4-м равенстве вводим переменную x8; в 5-м равенстве вводим
переменную x9;
-1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 2
6x1 + 7x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 42
1x1-2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 0
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 + 1x8 + 0x9 = 2
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 1x9 = 0
Для постановки задачи на максимум целевую
функцию запишем так:
F(X) = 2x2 - Mx8 - Mx9 → max
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x8 = 2-x1+x6
x9 = 0+x7
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 2x2 - M(2-x1+x6) - M(0+x7)
→ max
или
F(X) = (M)x1+(2)x2+(-M)x6+(-M)x7+(-2M)
→ max