Я попробую помочь, но предупреждаю, что я не преподаватель русского языка, просто я считаю, что надо поставить запятые именно так.
1. Всем известно, что Пушкин лучше всего писал осенью. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что известно?)
2. Утром на рассвете зимой редко можно понять, какой будет этот день.(Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что можно понять?)
3. Какое блаженство, что блещут снега, что холод окреп.(Здесь выделяются запятыми два придаточных дополнительных предложения - каждое отвечает на вопрос "что за блаженство?", "в чем блаженство?" - что можно понять? Ну и, конечно, они разделяются между собой запятой, т.к. между ними нет союза. Например, если бы было "Какое блаженство, что блещут снега и что холод окреп.", тогда между двумя однородными придаточными предложениями, относящимися к одному и тому же слову, запятая не ставится. )
4. Он узнал по моему лицу, кто я. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что узнал?)
5. Няню Пушкина стали спрашивать, был ли обыск и взяли ли какие-нибудь бумаги. (Здесь отделяются запятой от главного предложения два придаточных дополнительных предложения, соединенных союзом "и" . Каждое из них отвечает на вопрос "о чем?" - спрашивать о чем? Ну и, конечно, они не разделяются между собой запятой, т.к. оба этих придаточных предложения относятся к одному и тому же слову и соединены союзом. )
6.Очевидно было, что Савельич передо мной был прав и что я напрасно оскорбил его упрёком и подозрением. (Здесь тот же случай, что и в предыдущем примере, только придаточные дополнительные предложения отвечают на вопрос "что?" - что было ясно?).
7. Я спросил у высокого солнца, как мне вспыхнуть светлее зари. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "о чем?" - о чем спросил?)
8. Казалось, что птичка покорно сторожит в ночной тишине какую-то печальную тайну. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что казалось?)
9. В детстве мы впервые узнали, что мир гораздо шире комнаты с игрушками, что в синеющем за бугром лесу живут трусливые зайцы неповоротливые медведи и хитрые лисицы. (Здесь выделяются запятыми два придаточных дополнительных предложения - каждое отвечает на вопрос "что?"- что узнали? Ну и, конечно, они разделяются между собой запятой, т.к. между ними нет союза.