Докажите равенство: 2 sin 1° · 2 sin 2° · 2 sin 3° · . . . · 2 sin 179° = 180.

Question

Докажите равенство: 2 sin 1° · 2 sin 2° · 2 sin 3° · . . . · 2 sin 179° = 180.

Answer 1

Вот что удалось получить


Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2.
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле:
sin(180 - a) = sin a

Аналогично и остальные
A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2=
= 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A
Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле
sin(90 - a) = cos a

Аналогично и остальные
A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 = 
=16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A
Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле

Аналогично и остальные
A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)*
*4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)*
*4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)*
*4sin^2(88)*4 = ?
Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится
4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 =
= 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2
Но ничего хорошего из этого не получается.