Грам. основа - катя( подлежащее выраж сущ. в И.п) устроилась и задремала( однородные сказуемые выраж. глаголами в пр.вр.)
обстоятельство - в кресле - качалке( выраж. предл. + сущ.в П.п + сущ. в П,п)
определение - любимом (выраж. прил в П,п)
Предложение: Повествовательное, невосклицательное,простое, ДСП полное, осложнено однор.сказ. связанные соч. союзом и