Решите уравнение x^4=(3x-10)^2

Question

Решите уравнение
x^4=(3x-10)^2

Answer 1

X⁴=(3x-10)²
x⁴=9x²-60x+100
x⁴-9x²+60x-100=0
x₁=2
x⁴-9x²+60x-100 I_x-2
x⁴-2x³              I x³+2x²-5x+50
--------
    2x³-9x²
    2x³-4x²
   ------------
          -5x²+60x
          -5x²+10x
          -------------
                  50x-100
                  50x-100
                 -------------
                           0
x³+2x²-5x+50=0
x₂=-5
x³+2x²-5x+50  I_ x+5
x³+5x²            I x²-3x+10
---------
    -3x²-5x
    -3x²-15x
   -------------
          10x+50
          10x+50
          -----------
                  0
x²-3x+10=0  D=-31  ⇒
Уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: х₁=2    х₂=-5.

Comments

Решение по методу Горнера сложно назвать решением – это метод подбора корней.
А задачка (и задачки такого типа с кратными 2 корнями легко решаются даже двумя методами. Причем без всяких замен переменных.
Извлечем квадратный корень с выражений по обоим сторонам равенства. При этом, слева получится х в квадрате, то есть выражение больше нуля в любом случае. А слева раскрываем как выражение под модулем.
x^2=|3x-10|
Далее отсюда получаем два уравнения:
x^2=-(3x-10) и
x^2=(3x-10)
x^2+3x-10=0 легко

---

решается по теореме Виета и корни равны 2 и -5. У второго уравнения отрицательный дискриминант и корней оно не имеет. Итак, корни уравнения x_1=2 ; x_2=-5
Второй метод заключается в том, что переведя выражение в правой части влево получаем разность квадратов.
(x^2 )^2-(3x-10)^2=0
Разлагаем на множители и имеем
[x^2-(3x-10) ][x^2+(3x-10) ]=0
Произведение равно нулю, когда равны нулю одно или оба сомножителя. Получаем 2 уравнения
x^2+3x-10=0 и x^2-3x+10=0 Они решаются точно так же как и выш