Помогите с задачой пажалуста Два круга заданы координатами центров в прямоугольной...

Question

53 просмотров

Помогите с задачой пажалуста
Два круга заданы координатами центров в прямоугольной декартовой системе координат и радиусами. Найти площадь их пересечения.
нам даны x1, y1, r1, x2, y2, r2

например :20 30 15 40 30 30
ответ 608.37

кто нибудь помогите решить или формулу ! буду благодарен

Геометрия kayratis_zn (81 баллов) 08 Апр, 18 | 53 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Опишем круги , в виде уравнения
$(x-20)^2+(y-30)^2=15^2\\ (x-40)^2+(y-30))^2=30^2$
Найдем точки пересечения , решив данные уравнения
$(x-20)^2-(x-40)^2=15^2-30^2 \\ 40x-1200 = - 675 \\ x= \frac{108}{5}$
$y = 30 +- \frac{5\sqrt{455}}{8}$
Из графиков , видно что нужно найти , часть круга , отсекаемой большей окружности меньшую
Выразим $x$ с первого и со второго уравнения
$x=- \sqrt{-y^2+60*y-675}+20 \\ x=-\sqrt{-y*(y-60)}+40$
Теперь заменим $x=y$ , для того чтобы рассмотреть на координате , вдоль оси $OX$
Нам нужно часть отсекаемое большей окружности меньшую ,
Проинтегрировав
$\int\limits^{30-\frac{5\sqrt{455}}{8}}_{30-\frac{5\sqrt{455}}{8}} { - \sqrt{-x^2+60*x-675}+20-(-\sqrt{-y(y-60)}+40) \, dx$
  Взяв интеграл , можно посчитать что он равен $97.7714$    ( по таблицам все интегрируются)
Осталось найти площадь $15^2*\pi-97.7714 = 608.3$
Но данные задачи решаются методом Монте-Карло

Матов_zn (224k баллов) 08 Апр, 18