Окружности S1 и S2 с центрами в точках О1 и О2 и радиусами 5 и 12 соответственно...

0 голосов
50 просмотров

Окружности S1 и S2 с центрами в точках О1 и О2 и радиусами 5 и 12 соответственно пересекаются в точках А и В. Прямая О2В является касательной к окружности S1. Прямая О1А вторично пересекает окружность S1 в точке C. Прямая О2А вторично пересекает окружность S2 в точке D. Касательная к окружности S2 в точке D и прямая О1О2 пересекаются в точке Е. Найдите площадь четырёхугольника EDCO1.

Геометрия (15 баллов) | 50 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

  Угол \angle O_{1}BO_{2} = 90а , откуда    O_{1}O_{2} = \sqrt{12^2+5^2}=13 , O_{1}A=5 , \ \ \ O_{2}A=12 
Значит угол \angle CAD = \ \angle O_{1}BO _{2} = 90а \\           
AO_{2} = O_{2}D\\ \angle AO_{2}O_{1} = DO_{2}E \\ \angle O_{2}E D = \angle AO_{1}O_{2}   
Из подобия треугольников \Delta AO_{1}O_{2} , \Delta O_{2}DE 
\frac{ED}{5}=1\\ ED=5                    
 \frac{12}{sin\angle AO_{1}O_{2}} = 13 \\ sin\angle AO_{1}O_{2}= \frac{12}{13} \\ , \angle CO_{1}B = 180а - 2*arcsin(\frac{12}{13}) 
   \angle O_{1}O_{2}B = arcsin\frac{5}{13} \\ \angle O_{2} = 180а - 2*arcsin \frac{5}{13}  
       S_{EDCO_{1}} = S_{CO_{1}B} + S_{O_{1}O_{2}B } * 2 + S_{BO_{2} D } = \\ \frac{12}{2}*5*2 + \frac{25*sin( 2*arcsin\frac{12}{13} ) }{2} + \frac{12^2*sin(2arcsin\frac{5}{13})}{2} = 60 + 60 = 120      
                                                                
  
                

(224k баллов)
Похожие задачи