6) Критические точки функции - это те точки, в которых производная функции равна нулю.
Производная функции f(x) = 3х + sin(3x) равна:
f'(x) = 3cos(3x) + 3.
Производная функции равна нулю при таких значениях х:
и
n∈Z.
7) Производная функции f(x) = x³ - x² -x + 8 равна:
f'(x) = 3x² - 2x - 1.
На промежутке, где производная положительна, там функция возрастает, а где производная отрицательна - там функция убывает.
График производной - парабола.
Найдём критические точки, приравняв производную нулю:
3x² - 2x - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*3*(-1)=4-4*3*(-1)=4-12*(-1)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-(-2))/(2*3)=(4-(-2))/(2*3)=(4+2)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1;
x_2=(-√16-(-2))/(2*3)=(-4-(-2))/(2*3)=(-4+2)/(2*3)=-2/(2*3)=-2/6=-(1//3)~~-0.3333.
Откуда:
x1 = -1/3
x2 = 1
(-∞ ;-1/3) (-1/3; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает.
8) Производная функции 
равна:
Для нахождения точки экстремума надо производную приравнять нулю. Дробь равна 0, когда числитель равен 0:
x² + 8x + 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=8^2-4*1*12=64-4*12=64-48=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-8)/(2*1)=(4-8)/2=-4/2=-2;
x_2=(-√16-8)/(2*1)=(-4-8)/2=-12/2=-6.
Это и есть точки экстремума.
А экстремумы - это значения функции в этих точках.
Подставив значения х = -2 и х = -6 находим:
f(min) = -1 x=-2
f(max) = -9 x = -6.
9) Производная функции 
равна:
.
Критические точки: х = √4 = +-2.
Точка -2 не входит в заданный промежуток.
При х = 2 у = (1/3)*2³ - 4*2 = (8/3) - 8 = -16/3 = -5(1/3).
При х = 0 у = 0.
При х = 3 у = (1/3)*3³ - 4*3 = 9 - 12 = -3.
На заданном промежутке минимальное значение функции у = -5(1/3), максимально у = 0.
10) Наибольшую площадь при равных периметрах имеет равносторонний треугольник.
а = 24 / 3 = 8 см.