1)Напишите уравнение параболы, если известно, что парабола проходит через точку А(-2;2),...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

1. Вершина квадратной параболы является точкой её экстремума (максимума при отрицательном значении коэффициента при х² или минимума при его положительном значении).
В общем виде уравнение квадратной параболы можно записать в следующем виде: $y=k(x-p)^2+q$ , где q определяет ординату (т.е. значение по оси у) точки экстремума, -р определяет абсциссу (т.е. значение по оси х) точки экстремума, а k - это коэффициент, который показывает, насколько сжаты (k>1) или расширены (k<1) ветви заданной параболы относительно параболы с уравнением y=x². Положительный знак k говорит о том, что ветви параболы будут направлены вверх и экстремум является минимумом, а отрицательный знак k показывает, что ветви параболы направлены вниз и экстремум является максимумом. Фактически, k определяет точки, отличные от точки экстремума, через которую обязаны пройти ветви параболы.<br>В нашем случае вершина параболы (точка В) лежит на оси х и сдвинута относительно начала координат на +5. Т.е. мы сразу можем записать, что q=0, p=-5. Тогда искомая функция примет вид:
$\displaystyle y=k(x-5)^2 \to k= \frac{y}{(x-5)^2};$
У нас имеется точка А(-2;2), координаты которой мы и подставим в полученную формулу для нахождения k:
$\displaystyle k= \frac{y}{(x-5)^2}=\frac{2}{(-2-5)^2}= \frac{2}{49}$
Окончательно, уравнение параболы будет иметь следующий вид:
$\displaystyle y= \frac{2}{49}(x-5)^2$
При желании, это уравнение можно привести к "классическому" виду:
$\displaystyle \frac{2}{49}(x-5)^2= \frac{2}{49}(x^2-10x+25)= \frac{2}{49}x^2-\frac{20}{49}x+\frac{50}{49}; \\ y=\frac{2}{49}x^2-\frac{20}{49}x+\frac{50}{49}$

2. Как было рассмотрено выше, экстремумы квадратичной функции находятся в точке с координатами (-p,q). В условии функции заданы в канонической форме y=ax²+bx+c, поэтому сначала найдем формулы, связывающие искомые p,q с известными a,b,c.
С этой целью выделим в уравнении y=ax²+bx+c полный квадрат: $\displaystyle ax^2+bx+c= a(x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a})= \\ a\left[\left( x^2+ 2\frac{b}{2a}x+\left( \frac{b}{2a}\right)^2\right)+\left(-\left( \frac{b}{2a}\right)^2+ \frac{c}{a}\right)\right]= \\ a\left[\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(-\left( \frac{b}{2a}\right)^2+ \frac{c}{a}\right)\right]=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c- \frac{b}{4a}\right); \\ k=a; \quad p=\frac{b}{2a}; \quad q=c- \frac{b}{4a}$
Для решения поставленной задачи представляет интерес определение величины -p - абсциссы точки экстремума. Ордината, т.е. значение экстремума, будет найдена путем подстановки величины -p вместо х в исходное уравнение.
$\displaystyle a) \ y=x^2-8x+19; \ p= \frac{b}{2a}= \frac{-8}{2}=-4; \ y(4)=16-32+19=3 \\ b) \ y= -x^2+5x; \ p= \frac{5}{-2}=-2.5; \ y(2.5)=-6.25+12.5=6.25 \\ c) \ y=-x^2+2x-3; \ p= \frac{2}{-2}=-1; \ y(1)=-1+2-3=-2 \\ d) \ y=x^2-7x+2; \ p= \frac{-7}{2}=-3.5; \ p(3.5)=12.25-24.5+2=-10.25$

Alviko_zn (142k баллов) 08 Апр, 18

geniwanov2015_zn · Answer 1 · 2018-04-08T07:54:17+0000

Общее уравнение параболы: y=ax^2+bx+c, координаты вершины x0= - b/2a,
y0 = (4ac - b^2)/4a, отсюда следует
для вершины 5= - b/2a, c - b^2/4a=0,
для A(-2,2) 4a - 2b + c=2. В результате решения системы трех уравнений
получаем параболу: y = (-2/49)x^2 + 20/49x - 50/49, а меньше нуля - парабола обращена вершиной вверх, ветви вниз.
Экстремумы следующих функций достигаются в точках:
(4, 34,5) парабола обращена вершиной вниз, ветви - вверх, и так далее по всем параболам с использованием приведенных формул.