А) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
Угол АСР - развернутый и равен 180°. ОС и О1С - биссектрисы углов АСВ и РСВ, так как это отрезки, соединяющие центры окружностей и точку С, из которой проведены
касательные к окружностям. Следовательно,
б) Радиус вписанной в треугольник окружности равен r= S/p = √[(p-a)(p-b)(p-c)]/√p,
где р - полупериметр треугольника. В нашем случае радиус ОM=√[6*4*2/12]=2.
Тогда площадь треугольника АВС равна r*p=24, а площадь треугольника ОВС=(1/2)*ОМ*ВС=8.
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле:
Rвн=S/(p-b), где S- площадь треугольника. В нашем случае Rвн=24/(12-8)=6. Тогда
площадь треугольника О1ВС=(1/2)*О1N*BC=(1/2)*6*8=24. Площадь четырехугольника ВОСО1 равна сумме площадей треугольников ОВС и О1ВС. Sboco1=8+24=32.
Четырехугольник NOMO1 - трапеция с основаниями ОM и O1N (так как ОM и О1N
перпендикулярны ВС, а значит параллельны) и высотой MN (MN перпендикуляр к ОM и О1N). ОМ=2, О1N=6. Найдем MN.
Есть свойство: Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из
противоположной вершины, равна полупериметру треугольника. То есть АР=р=12.
Тогда СР=АР-АС=12-6=6. NC=CP=6 как касательные из одной точки. МС=р-АВ (по свойству отрезка стороны от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью). В нашем случае МС=12-10=2. Тогда MN=NC-МC=6-2=4.
Площадь трапеции NOMO1=(1/2)*(OM+O1N)*MN=(1/2)*(2+6)*4=16.
Ответ: Sboco1=32, SMONO1=16.
