В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см,высота,проведенная из вершины прямого...

Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см,высота,проведенная из вершины прямого угла,равна 3 см.Найти отрезки на которые высота делит гипотенуза.

Answer 1

Вариант решения. 
Пусть АВС - данный треугольник с прямым углом В. 
ВН - высота.
АН и НС - проекции катетов АВ и ВС на гипотенузу.
 Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.⇒ 
АН²=АН*НС 
Пусть АН=х, тогда 
3²=х(10-х)⇒
х²-10х+9=0 
Решив квадратное уравнение, получим.
х₁=9 
х₂=1 
Искомые отрезки равны 9 и 1. 
-----------
В принципе, это то же решение, что при применении подобия треугольников АВН и СВН:
АН:ВН=ВН:СН
ВН²=АН*СН 
и далее, как решено выше. 

Answer 2

Произведени катетов  а*в=3*10 ( удвоенные площади).
Сумма квадратов катетов равна 100
Значит сумма катетов в квадрате равна 100+2*30 =160
Разность катетов в квадрате равна 100-2*30=40
а +в=4sqrt(10)
 а-в=2sqrt(10)
2а=6sqrt(10)
а=3sqrt(10)
в=sqrt(10)
Каждый из катетов - гипотенуза треугольника на которые высота делит исходный.
Искомые отрезки катеты этих треугольников.
Их квадраты : 90-9  и 10 -9.
Стало быть искомых отрезков длины 9 и 1.
Ответ : 9 и 1

Comments

Мне решение без квадратного уравнения больше нравится!)