Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и ** всех восьми...

Question

Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях обозначили равны между собой отрезки. Оказалось, что 8 точек, которые были получены - внешние концы построенных отрезков - разные и принадлежат одному кругу. Докажите, что начальный четырехугольник - квадрат.

Answer 1

Если соединить концы равных отрезков, исходящих из одной вершины, то получится равнобедренный треугольник. Углы при его основании равны.
Легко видеть, что у других аналогичных треугольников такие же углы - поскольку все эти углы вписанные, и можно для любого такого угла указать угол из другого треугольника, опирающийся на эту же дугу.
Это означает, что равны все углы при вершинах. То есть у исходного четырехугольника равны все углы. Получилось, что этот четырехугольник - заведомо прямоугольник.
Остается заметить, что в самом общем случае, если точка пересечения двух хорд отсекает на них пару равных отрезков, то эти хорды равны.
Это, кстати, не такое уж и тривиальное утверждение. Оно легко доказывается, поскольку у двух окружностей может быть не более 2 общих точек, симметричных относительно линии центров.

Comments

если отрезки двух хорд от токи пересечения до окружности равны, то точка пересечения является центром другой окружности, которая пересекает заданную в концах хорд. Легко видеть, что эти хорды симметричны относительно линии, проходящей через центр окружности и точку их пересечения, то есть равны.

---

Большое спасибо Вам!

---

А Вам все понятно?

---

Да, спасибо за подробное объяснение. А то уже и рисовал диагонали, и пользовался условием вписанного черырёхугольника, а всё никак.