Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x і y, що Xn –...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для $n=1$ , $x-y=2015$
Решения $(x;2015-x)$

Для $n=2\\ 2015 = 5*13*31*1 \\$
Совокупность систем , только
$\left \{ {{ x-y=1} \atop {x+y=5*13*31}} \right. \\\\ \left \{ {{ x-y=5} \atop { x+y= 13*31}} \right. \\\\ \left \{ {{x-y=13} \atop { x+y = 5*31}} \right. \\\\ \left \{ {{ x-y=31} \atop { x+y=13*5}} \right.$
Решая , получаем решений
$(1008;1007) \cup (204;199) \cup (84;71) \cup (48;17)$

Для $n= 3$
$(x-y)(x^2+xy+y^2) = 5*13*31 \\ \left \{ {{ x-y = 1} \atop { x^2+xy+y^2 = 5*13*31}} \right. \\ \left \{ {{ x-y=5} \atop { x^2+xy+y^2 = 13*31}} \right. \\ \left \{ {{x-y=13} \atop {x^2+xy+y^2 = 5*31}} \right. \\ \left \{ {{ x-y = 31} \atop { x^2+y^2+xy = 5*13}} \right.$

Получаем решения
$x= 14 ; y= 9$

Для $n \geq 4 \\$ , попробуем обосновать , так
$(x-y)(x^3+xy^2+x^2y+y^3) = 5*13*31 \\\\ x-y=1\\ (2y+1)(2y^2+2y+1) = 2015 \\\\ x-y=5\\ (2y+5)(2y^2+10y+25) =13*31 \\\\ x-y=13\\ (2y+13)(2y^2+26y+169) = 5*31 \\ \\ x-y=31\\ (2y+31)(2y^2+62y+961)=5*13\\\$

Так же и для других сочетаний , и мы можем легко убедиться что нет целых решений , решая уравнения
В уравнений
$x^5-y^5 = (x-y)(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)=1*13*5*31 \\ x^6-y^6 = (x-y)(x*(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)+y^5) = 1*13*5*31 \\ ...\\$

Можно итерационно заметить что
Уравнения , при $n=2x+1$
$\frac{x^n-y^n}{x-y} = 5*31$ решения в действительных числа

А при меньших числах , не имеет в целых числах

Матов_zn (224k баллов) 08 Апр, 18