В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписана окружность радиуса r. Докажите , что...

Question

В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписана окружность радиуса r. Докажите , что r= a*b/(a+b)

Answer 1

Прямоугольная трапеция АВСД: Из С опустим высоту СН=х на основание АД (СН=АВ)
АН=ВС=а, НД=АД-АН=b-a
Т.к. окружность вписана, то АВ+СД=ВС+АД=а+b
СД=а+b-AB=a+b-x
По т.Пифагора
СН²=СД²-НД²
х²=(а+b-х)²-(b-а)²
х²=а²+b²+x²+2ab-2xa-2xb-b²+2ab-a²
4ab=2xa+2xb
x=4ab/2(a+b)=2ab/(a+b)
Радиус r=CH/2=x/2=ab/(a+b)