Доказать, что последовательность 1,⅓,1/9,... является геометрической прогрессией, и найти...

Свойство геометрической прогрессии:

$b_{n+1}^2=b_n\cdotb_{n+2}, \\ b_2^2=b_1\cdot b_3, \\ (\frac{1}{3})^2=1\cdot \frac{1}{9}, \\ \frac{1}{9} = \frac{1}{9}.$

$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}, \\ q=\frac{b_n}{b_{n+1}}, \\ q=\frac{b_2}{b_1}, \\ q=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}, \\ S_5=\frac{1(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{(3^5-1)\cdot3}{3^5\cdot2}=\frac{242}{81\cdot2}=\frac{121}{81}=1\frac{40}{81}.$