Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= – f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x2+4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т. е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т. е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
x-3=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
x2 -3х=0
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х1=0, х2=3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
3-x=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
x2-5х+6=0
х1=2, х2=3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго – корень х=2.
Ответ: х=3, х=2