1. Решите уравнения: а) корень(x^2-4x) = корень (6-3x) b)корень(3x+1)=x-1 c)2 корень (x)...

Question

1. Решите уравнения:
а) корень(x^2-4x) = корень (6-3x)
b)корень(3x+1)=x-1
c)2 корень (x) - корень в 4 степени (x) = 1
d)корень (x) + корень (x-3) = 3
2. Определите, при каких значениях x:
функция y=корень в 3 степени (x^2-1) принимает значение, равное 2.

Answer 1

1.
а)√(x²-4x)=√(6-3x)
ОДЗ: х²-4х≥0
          х(х-4)≥0
          х=0   х=4
           +              -                 +
    --------- 0 ---------- 4 ----------
 \\\\\\\\\\\\\\\                      \\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈(-∞; 0]U[4; +∞)

6-3x≥0
-3x≥ -6
x≤ 2

В итоге: х∈(-∞; 0]

(√(x²-4x))² = (√(6-3x))²
x²-4x=6-3x
x²-4x+3x-6=0
x²-x-6=0
D=1+24=25
x₁=1-5 = -2 ∈(-∞; 0] - корень уравнения
        2
x₂=1+5 = 3 ∉(-∞; 0] - не корень уравнения
        2
Ответ: -2

b) √(3x+1)=x-1
ОДЗ: 3х+1≥0
          3х≥ -1
          х≥ -1/3
 
         х-1≥0
         х≥1
В итоге: х≥1
              x∈[1; +∞)

(√(3х+1))² = (x-1)²
3x+1=x²-2x+1
-x²+3x+2x+1-1=0
-x²+5x=0
x²-5x=0
x(x-5)=0
x=0∉[1; +∞) - не корень уравнения

х-5=0
х=5∈[1; +∞) - корень уравнения
Ответ: 5

c) 2√x - ⁴√x =1
ОДЗ: х≥0
(2√x -1)² =(⁴√x)²
4x-4√x+1=√x
4x+1=√x + 4√x
(4x+1)²=(5√x)²
16x²+8x+1=25x
16x²+8x-25x+1=0
16x²-17x+1=0
D=289-64=225
x₁= 17-15 = 2/32 = 1/16
          32
x₂= 17+15 =1
           32
Проверка корня: 
х=1/16     2√(1/16) - ⁴√(1/16) =1
                  2*(1/4) - 1/2  =1
                       1/2 - 1/2 =1
                               0≠1
х=1/16 - не корень уравнения

х=1       2√1 - ⁴√1 =1
                  2-1 =1
                    1=1
х=1 - корень уравнения
Ответ: 1.

d) √x  + √(x-3) =3
ОДЗ: х≥0
         х≥3
В итоге: х≥3
(√х +√(х-3))² =3²
х+2√(х(х-3))+х-3=9
2√(х²-3х)=9+3-2х
2√(х²-3х)=2(6-х)
(√(х²-3х))² =(6-х)²
х²-3х=36-12х+х²
х²-х²-3х+12х=36
9х=36
  х=4
Ответ: 4

2.
у=∛(х² -1)
у=2
∛(х² -1)=2
(∛(х²-1))³=2³
х²-1=8
х²=8+1
х²=9
х₁=3
х₂= -3
Ответ: -3; 3.