Решите систему линейных уровнений методом гаусса

Question 1

Question 2

$\left\{\begin{matrix} x &+ &3y &- &z &= &8 \\ 2x &- &y &+ &4z &= &-1 \\ -2x &+ &2y &+ &z &= &4 \end{matrix}\right.$

Решение методом Гаусса:

Переписать в матричном виде:

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 2 &-1 &4 &| &-1 \\ -2 &2 &1 &| &4 \end{vmatrix}$

От 2 строки отнять 1 строку, умножив на 2:

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 0 &-7 &6 &| &-17 \\ 0 &8 &-1 &| &20 \end{vmatrix}$

2 строку разделить на (-7):

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &8 &-1 &| &20 \end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 2 строку, умножив на 3:

$\begin{vmatrix} 1 &0 &\frac{11}{7} &| &\frac{5}{7} \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &0 &\frac{41}{7} &| &\frac{4}{7} \end{vmatrix}$

3 строку разделить на $\frac{41}{7}$ :

$\begin{vmatrix} 1 &0 &\frac{11}{7} &| &\frac{5}{7} \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &0 &1 &| &\frac{4}{41} \end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 3, умножив на $\frac{11}{7}$ :

$\begin{vmatrix} 1 &0 &0 &| &\frac{23}{41} \\ 0 &1 &0 &| &\frac{103}{41} \\ 0 &0 &1 &| &\frac{4}{41} \end{vmatrix}$

Проверка:

$\frac{23}{41}+3\cdot \frac{103}{41}- \frac{4}{41}= \frac{23}{41}+ \frac{309}{41}- \frac{4}{41}= \frac{328}{41}=8\\\\ 2\cdot \frac{23}{41}- \frac{103}{41}+4\cdot \frac{4}{41}= \frac{46}{41}- \frac{103}{41}+ \frac{16}{41}=- \frac{41}{41}=-1\\\\ -2\cdot \frac{23}{41}+2\cdot \frac{103}{41}+ \frac{4}{41}=- \frac{46}{41}+ \frac{206}{41}+ \frac{4}{41}= \frac{164}{41}= 4$

Ответ: $x= \frac{23}{41}; \ y= \frac{103}{41}; \ z= \frac{4}{41}$

eugeke_zn · Answer 1 · 2018-04-08T15:38:38+0000

$\left\{\begin{matrix} x &+ &3y &- &z &= &8 \\ 2x &- &y &+ &4z &= &-1 \\ -2x &+ &2y &+ &z &= &4 \end{matrix}\right.$

Решение методом Гаусса:

Переписать в матричном виде:

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 2 &-1 &4 &| &-1 \\ -2 &2 &1 &| &4 \end{vmatrix}$

От 2 строки отнять 1 строку, умножив на 2:

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 0 &-7 &6 &| &-17 \\ 0 &8 &-1 &| &20 \end{vmatrix}$

2 строку разделить на (-7):

$\begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &8 &-1 &| &20 \end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 2 строку, умножив на 3:

$\begin{vmatrix} 1 &0 &\frac{11}{7} &| &\frac{5}{7} \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &0 &\frac{41}{7} &| &\frac{4}{7} \end{vmatrix}$

3 строку разделить на $\frac{41}{7}$ :

$\begin{vmatrix} 1 &0 &\frac{11}{7} &| &\frac{5}{7} \\ 0 &1 &-\frac{6}{7} &| &\frac{17}{7} \\ 0 &0 &1 &| &\frac{4}{41} \end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 3, умножив на $\frac{11}{7}$ :

$\begin{vmatrix} 1 &0 &0 &| &\frac{23}{41} \\ 0 &1 &0 &| &\frac{103}{41} \\ 0 &0 &1 &| &\frac{4}{41} \end{vmatrix}$

Проверка:

$\frac{23}{41}+3\cdot \frac{103}{41}- \frac{4}{41}= \frac{23}{41}+ \frac{309}{41}- \frac{4}{41}= \frac{328}{41}=8\\\\ 2\cdot \frac{23}{41}- \frac{103}{41}+4\cdot \frac{4}{41}= \frac{46}{41}- \frac{103}{41}+ \frac{16}{41}=- \frac{41}{41}=-1\\\\ -2\cdot \frac{23}{41}+2\cdot \frac{103}{41}+ \frac{4}{41}=- \frac{46}{41}+ \frac{206}{41}+ \frac{4}{41}= \frac{164}{41}= 4$

Ответ: $x= \frac{23}{41}; \ y= \frac{103}{41}; \ z= \frac{4}{41}$