Функцию z =f(x.y) исследовать ** экстремум

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-04-09T07:04:05+0000

Определяю функцию двух переменных:
$f(x,y):=-2x^2+8x-y^3+6xy-14$

Нахожу стационарные точки (необходимое условие наличия экстремума):
$\nabla f(x,y)=(-4x+8+6y,-3y^2+6x)$
Необходимое условие: $(x,y)$ - стационарная точка $\Leftrightarrow \nabla f(x,y)=(0,0)$

Другими словами: обе частных производных должны равнятся нулю. Получили систему уравнений с двумя неизвестными:
$\left \{ {{-4x+8+6y=0} \atop {-3y^2+6x=0}} \right.$
Решаю систему:
$\left \{ {{-4x+8+6y=0} \atop {-3y^2+6x=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x=3y+4} \atop {2x=y^2}} \right.$
$-y^2+3y+4=0\ \Rightarrow \ y_1=-1\ y_2=4\ \Rightarrow \ x_1=\frac{1}{2},\ x_2=8\\$
Стационарные точки: $(\frac{1}{2},-1),\ (8,4)$

Определяю Гессиан:
$H(x,y)=\left(\begin{array}{cc}-4&6\\6&-6y\end{array}\right)$

Условие экстремума: если $det(H|_{(x,y)})\ \textgreater \ 0$ - есть экстремум.
Более того, если $(H)_{1,1}\ \textgreater \ 0$ - получен минимум
$(H)_{1,1}\ \textless \ 0$ - получен максимум.

Вариант $det(H|_{(x,y)})=0$ - ответа не даёт, нужно искать другой способ проверки для данной точки

Если $det(H|_{(x,y)})\ \textless \ 0$ - экстремума нет.

В ншем случае, детерминант гессиана:
$det(H|_{(\frac{1}{2},-1)})=-60\ \textless \ 0$
$det(H|_{(8,4)})=60\ \textgreater \ 0\ \wedge\ (H)_{1,1}=-4<0 \Rightarrow\ Local\ maxima$

Ответ: одна точка экстремума $(8,4)$ - локальный максимум.