Составим матрицу системы
![\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\2&4&-3&3&-1\\3&1&2&-1&0\\12&4&7&2&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7Cr%7D1%26-3%264%262%261%5C%5C2%264%26-3%263%26-1%5C%5C3%261%262%26-1%260%5C%5C12%264%267%262%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\2&4&-3&3&-1\\3&1&2&-1&0\\12&4&7&2&0\end{array}\right]")
Решим ее методом Гаусса
Примем элемент a11 за основу и вычтем удвоенную первую строку из второй, утроенную из третьей и умноженную на 12 из четвертой, получим:
![\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\0&10&-11&-1&-3\\0&10&-10&-7&-3\\0&40&-41&-22&-12\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7Cr%7D1%26-3%264%262%261%5C%5C0%2610%26-11%26-1%26-3%5C%5C0%2610%26-10%26-7%26-3%5C%5C0%2640%26-41%26-22%26-12%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\0&10&-11&-1&-3\\0&10&-10&-7&-3\\0&40&-41&-22&-12\end{array}\right]")
Продолжаем метод Гаусса.Из третьей строки вычитаем вторую и из четвертой - вторую умноженную на 4
![\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\0&10&-11&-1&-3\\0&0&1&-6&0\\0&0&3&-18&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7Cr%7D1%26-3%264%262%261%5C%5C0%2610%26-11%26-1%26-3%5C%5C0%260%261%26-6%260%5C%5C0%260%263%26-18%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{rrrr|r}1&-3&4&2&1\\0&10&-11&-1&-3\\0&0&1&-6&0\\0&0&3&-18&0\end{array}\right]")
Видим, что третья и четвертая строки отличаются только множителем, а значит система совместна и имеет бесконечно много решений.