Две стороны АВ и ВС треугольника АВС равны 12 и 16. Медианы, проведенные к серединам этих...

Question

Две стороны АВ и ВС треугольника АВС равны 12 и 16. Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найти сторону АС треугольника.

Answer 1

Пусть О - точка пересечения медиан AM и СК, АО = 2*x; ОM = x; СО = 2*y; ОК = y;

Далее - цепочка очевидных соотношений.

x^2 + (2*y)^2 = (16/2)^2; (т.П. для тр-ка МОС, МС = 16/2 = 8)

(2*x)^2 + y^2 = (12/2)^2; (т. П для тр-ка АОК, АК = 12/2 = 6)

5*(x^2 + y^2) = 8^2 + 6^2; (намеренно не упрощаю, хотя это 100)

При этом

AC^2 = (2*x)^2 + (2*y)^2 = 4*(x^2 + y^2) = 4*(8^2 + 6^2)/5 = 80;

AC = 4*√5;