Помогите решить! Даю 50 баллов

Дан 1 ответ

$122. \ \ 10^n - 1 = (10 - 1) \cdot (10^{n-1} + 10^{n-2}+...+ 10 +1) = \\\\ = 9\cdot (10^{n-1} + 10^{n-2}+...+ 10 +1)$

По определению, для делимости нацело целого числа А на целое число Б, необходимо существование такого целого числа С, что А = Б * С. С называют частным от деления, а Б делителем.

В нашем случае мы берём в качестве делителя 9, в качестве частного выражение $10^{n-1} + 10^{n-2}+...+ 10 +1$ , которое будет целым, т.к. множество целых чисел замкнуто относительно действий сложения и умножения.

И, как вывод, мы получаем, что наше исходное выражение $10^n - 1$ делится на 9.

$120. \ \ f(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1 = 0 \\\\$

Это уравнение не может иметь отрицательных корней.

Докажем от противного. Действительно, пусть существует отрицательный корень $x_0 = -a, \ a \ \textgreater \ 0$ . Т.к. это корень уравнения, то $f(x_0) = 0$ .

Теперь подставим корень в исходное уравнение:

$(-a)^4 - (-a)^3 + 2(-a)^2 -4(-a) + 1 = a^4 - (-a^3) + 2a^2 +4a + 1 = \\\\ = a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1$

Учитывая, что:

$a \ \textgreater \ 0 \ \Rightarrow \ a^4 \ \textgreater \ 0, \ a^3 \ \textgreater \ 0, \ 2a^2 \ \textgreater \ 0, \ 4a \ \textgreater \ 0$

Получим, что:

$a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1 \ \textgreater \ 1$

Мы пришли к противоречию, следовательно, предположение о существовании отрицательного корня не верно. У уравнения не может быть отрицательных вещественных корней.

аноним 10 Апр, 18