ХЕЛП! ВЫЧИСЛИТЬ! МАТ АНАЛИЗ 1 КУРС

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-04-10T06:38:54+0000

Интуитивно:
Ясно что функция $f(x)=\frac{1}{x}$ ведёт себя так же, как $g(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ на области нуля. Следовательно - будет стремится в $-\infty$ . Что касается остальных точек на области определения:
$\forall x\in(-\infty,0)\ \ \sqrt[3]{x}\neq0$ , потому $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ непрерывна на этой области как композиция непрерывных и неравным нулю знаменателем.

Касательно арктангенса - это ограниченная монотонная функция, следовательно стремится к супремуму в бесконечности $\frac{\pi}{2}$ (супремум легко получить вспомнив что арктангенс - функция обратная от тангенса). В нашем случае аргумент получает бесконечность на $x=2$ (там получаем разрыв).
Увеличивая $x$ , мы уменьшаем аргумент. Функция должна выглядеть как если бы мы попробовали её нарисовать от бесконечности и в обратную сторону...

Формально:
Пусть $M\in\mathbb R$ , определим $\delta:=\frac{1}{M^3}$ , тогда получим: $\forall x\in(\delta,0)\ \ \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\leq\frac{1}{\delta}=M$ , значит $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=-\infty$ по определению.
В остальных точках функия непрерывна как композиция непрерывных со знаменателем не равным нулю.
Визуально ветка выглядит как $\frac{1}{x}$ , только с большей кривизной.

Далее - арктангенс.
$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\ \Rightarrow \ \lim_{x\to0^+}\arctan\left(\frac{1}{x-2}\right)=\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)$

Получили разрыв второго порядка в $x=0$

$\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty\ \Rightarrow \lim_{x\to2^-}\arctan\left(\frac{1}{x-2}\right)=-\frac{\pi}{2}$
Последнее равенство следует из того, что функия монотонна и стремится к инфимуму в $-\infty$ . Утверждение легко доказать, применив довод с супремумом на функцию $h(x)=-\arctan(x)$ .

$\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=\infty\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \lim_{x\to2^+}\arctan\left(\frac{1}{x-2}\right)=\frac{\pi}{2}$

Получаем скачок в $x=2$

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-2}=0\ \Rightarrow\lim_{x\to\infty}\arctan\left(\frac{1}{x-2}\right)=0$
Последнее равенство следует из непрерывности $\arctan(x)$ на области $x\in(n,\infty)$ для достаточно большого значения $n$ .

Арктангенс - монотонна и растёт от нуля до $\frac{\pi}{2}$ , пока $x$ растёт от нуля до $\infty$ .
Следовательно $\arctan\left(\frac{1}{x-2}\right)$ монотонно убывает на $x\in(2,\infty)$ и растёт на $x\in(0,2)$ .

Итого, есть две точки разрыва:
$x=0$ разрыв второго порядка потому, что левый предел не определён по Коши (не конечный).
$x=2$ скачок.
Функция монотонно убывает на области: $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$ , растёт на области $(0,2)$ .
Так же есть горизонтальная асимптота $y=0$ .