Помогите с геометрией!

Проводим высоты параллелограмма ВО и СН к сторонам AD и продолжению стороны АВ соответственно.
Там где на рисунке обозначены дополнительные углы 30° и 60° я в подробности вдаваться не буду, это вещи совсем уж элементарные.
При дальнейшем решении используется только свойство катета против угла в 30° и т. Пифагора (ну куда же тут без неё?.. ;-) )
Ну и, поскольку геометрия любит краткость, далее - только формулы:

$AO= \frac{AB}{2}=4\\\\BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}= \sqrt{64-16}= \sqrt{48}=4\sqrt{3}\\\\OD=AD-AO=12-4=8\\\\BD=\sqrt{OD^2+BO^2}=\sqrt{8^2+(4\sqrt{3})^2}= \sqrt{64+48}= \sqrt{112}=4\sqrt{7}\\\\BH= \frac{BC}{2}= \frac{12}{2}=6\\\\AH=AB+BH=8+6=14\\\\CH= \sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{12^2-6^2}= \sqrt{144-36}= \sqrt{108}=6 \sqrt{3}\\\\AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{14^2+(6 \sqrt{3})^2}= \sqrt{196+108}= \sqrt{304}=4 \sqrt{19}$

По теореме косинусов квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos ADC \\\ AC= \sqrt{AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos ADC} \\\ AC= \sqrt{12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot\cos 120^0} = \\\ = \sqrt{144+64-192\cdot(- \frac{1}{2})} = \sqrt{208+96} = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$

$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos BCD \\\ BD= \sqrt{BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos BCD} \\\ BD= \sqrt{12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot\cos 60^0} = \\\ = \sqrt{144+64-192\cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{208-96} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$