2) Доказать, что m⁵+4m делится на 5 при любом натуральном m.
Решение:
Преобразуем исходное выражение следующим способом:
m⁵+ 4m = m⁵ - m + 5m = m(m⁴ - 1) + 5m =
= m(m² - 1)(m² + 1) + 5m = m(m - 1)(m + 1)(m² +1) + 5m =
= m(m - 1)(m + 1)(m² - 4 + 5) + 5m =
= m(m - 1)(m + 1)(m² - 4) + 5m(m - 1)(m + 1) + 5m =
= m(m - 1)(m + 1)(m - 2)(m + 2) + 5m(m² - 1) + 5m =
= (m - 2)(m - 1)*m*(m + 1)(m + 2) + 5m(m² - 1 + 1) =
= (m - 2)(m - 1)*m*(m + 1)(m + 2) + 5m³
Призведение (m - 2)(m - 1)*m*(m + 1)(m + 2) делится на 5, так как состоит из 5 последовательных целых чисел (одно из которых обязательно кратно 5). Очевидно, что 5m³ также делится на 5.
Значит и вся сумма (m - 2)(m - 1)*m*(m + 1)(m + 2) + 5m³ делится на 5,
а, следовательно, исходное выражение m⁵ + 4m делится на 5.