7.
f(x)= 1/3 x² g(x)=-x²+3x
f(x)' = 2/3 x g(x)' = -2x+3
2/3 x < -2x+3
2x < -6x+9
2x+6x < 9
8x < 9
x< 9/8
x<1.125<br>
8. f(x)=2sinx -4√3cosx
f(x)' = 2cosx + 4√3 sinx
f(π/3)' = 2cos(π/3) +4√3 sin(π/3) = 2*(1/2) + 4√3 * (√3/2) = 1 +6=7
9. f(x) = -x³ +2x² -3x
3
f(x)' = -x² +4x -3
-x² +4x-3 =0
D=16-4*(-1)*(-3)=16-12=4
x₁ = -4 -2 = 3
-2
x₂ = -4+2 = 1
-2
- + -
-------- 1 ---------- 3 -----------
x= 1 - точка минимума
f(1) = -1³ + 2*1² - 3*1 = -1/3 -1 = -1 ¹/₃ - минимум
3
х=3 - точка максимума
f(3)= -3³ + 2*3² -3*3 = -9+18 -9 = 0 - максимум
3
0- (-1¹/₃) = 1 ¹/₃ - разность между максимумом и минимумом функции.
10. у=х²-2х+1 [-2; 3]
у' = 2x-2
2x-2=0
2x=2
x=1
При х= -2 у(-2)=(-2)² -2*(-2)+1=4+4+1=9 - наибольшее
При х=1 у(1)=1² -2*1+1=1-2+1=0 - наименьшее
При х=3 у(3)=3² -2*3+1=9-6+1=4
12. Так как у параболы ветви направлены вниз, то коэффициент при х² должен быть отрицательным. Первые две функции не подходят. Остаются последние три функции. График имеет максимум при х= -4. Возьмем производные:
3. у= -х²-8х -15
у' =-2x -8
-2x-8=0
-2x=8
x= -4
+ -
--------- -4 -------------
x= -4 - точка максимума.
Ответ: 3)
13. у=2-lgx
ОДЗ: х>0
2-lgx<0<br>-lgx<-2<br>lgx>2
x>10²
x>100
14. y= arccos(x-2) +√(9-x²)
log₃(5-2x)
1) arccos(x-2):
-1≤х-2≤1
-1+2≤х≤1+2
1≤х≤3
х∈[1; 3]
2) √(9-х²)
9-х²≥0
x²-9≤0
(x-3)(x+3)≤0
x=3 x=-3
+ - +
----- -3 ---------- 3 ----------
\\\\\\\\\\\\
x∈[-3; 3]
3) log₃(5-2x):
5-2x>0
-2x>-5
x<2.5<br>log₃(5-2x)≠0
5-2x≠1
-2x≠1-5
-2x≠-4
x≠2
{x∈[1; 3]
{x∈[-3; 3]
{x<2.5<br>{x≠2
D(y)=[1; 2)U(2; 2,5) - область определения функции.
1 - единственное целое число, входящее в область определения функции.
15. у=√(28х²-13х-6)
28х²-13х-6≥0
28х²-13х-6=0
D=169 -4*28*(-6)=169+672=841
x₁= 13+29 = 42/56 = 3/4 = 0.75
56
x₂ = 13-29 = -16/56 = -2/7
56
+ - +
----------- -2/7 ------------ 0.75 ---------
\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\
x∈(-∞; -2/7]U[0.75; +∞)
D(y)=(-∞; -2/7]U[0.75; +∞) - область определения функции