Вводя новые независимые переменные , преобразовать уравнение и решить его:

$z'_x=z'_\eta\cdot\eta'_x+z'_\xi\cdot\xi'_x=2xz'_\eta+z'_\xi$

$z'_y=z'_\eta\cdot\eta'_y+z'_\xi\cdot\xi'_y=2yz'_\eta$

$yz'_x- xz'_y =2xyz'_\eta+yz'_\xi-2xyz'_\eta=yz'_\xi=0$

В принципе, y=0 - решение. Поищем другие решения.

$z'_\xi=0$

$z=\varphi(\eta)=\varphi(x^2+y^2)$