Задача 189 пожалуйста

Question

Дано ответов: 2

Dredo_zn · Answer 1 · 2018-04-11T04:42:44+0000

Можно решать задачу, что называется, в лоб. То есть, явно написать уравнения движения, а потом искать двухпараметрический экстремум (короче, минимум). Но так придется очень много считать. Поэтому давайте махать руками.
Сначала напишем уравнение огибающей траекторий при разных начальных углах $\alpha=(-\frac\pi2;+\frac\pi2)$ . Этого можно добиться, решив систему уравнений в частных производных $f(x,y,p)=0=\frac{\partial f(x,y,p)}{\partial p}$
( $p$ - параметр), но здесь можно по-другому. Сделаем вот какой трюк:
Рассмотрим закон движения свободно падающей точки как уравнение относительно угла. В таком случае $x$ и $y$ выступают не в качестве аргумента и функции от аргумента, а в качестве координат некоей мишени, в которую необходимо попасть. Если уравнение (помним, относительно угла) имеет физические решения, то в цель попасть можно.
$y(x)=\tan \alpha\cdot x-\frac{g(1+\tan^2\alpha)}{2v_0^2}\cdot x^2;\\ \tan\alpha=\frac{1}{gx}\left[v_0^2\pm\sqrt{v_0^4-g(gx^2+2v_0^2y)}\right].$
Вещественные решения на тангенс существуют, когда дискриминант неотрицателен: $v_0^4-g(gx^2+2v_0^2y) \geq 0$
Отсюда область поражения:
$y \leq \frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}x^2,$ и ее граница, cоответственно,
$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}x^2$ .
Требуем, чтобы граница проходила через самую высокую точку сетки:
$h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gl^2}{2v_0^2}; \ \boxed{v_0^2=g\left[h+\sqrt{h^2+l^2}\right]}.$
P.S. Думаю, стоит обратить особое внимание на то, что вершина траектории, которой соответствует минимальная начальная скорость, вовсе не обязательно совпадает с наивысшей точкой сетки. Эта иллюзия оказывается страшно сильна. Настолько сильна, что такое решение можно встретить в нескольких учебниках механики средней школы. Но от нее можно вот как избавиться: пусть так. Будем мысленно уменьшать высоту сетки. При этом точка. куда попадает мяч, продолжит согласно предположению оставаться верхней точкой траектории в том числе, и в пределе $h\rightarrow 0$ , что, очевидно, ломает предположение.