График периметр прямоугольного треугольника 84 см, а гипотенуза равна 37 см

Обозначим катеты за $X$ и $Y$

$\left \{{{x+y+37=84} \atop {x^2+y^2=37^2}} \right.\\\\ \left \{{{x+y=47} \atop {x^2+y^2=1369}}\right.$

$\left \{ {{x=47-y} \atop {x^2+y^2=1369}} \right.$

$(47-y)^2+y^2=1369\\\\2209-94y+y^2+y^2=1369\\\\2y^2-94y+840=0\\\\y^2-47y+420=0\\\\D=(-47)^2-4\cdot1\cdot420=2209-1680=529\\\\ y_{1,2}= \frac{47\±23}{2}\\\\y_1=35\\\\y_2=12$

Собственно, полученные корни - и есть длины катетов; вычислением $x_1$ и $x_2$ можно не утруждаться, поскольку в результате получим те же значения:

$x_1=12\\\\x_2=35$